Можно ли привязать внутреннее доменное имя для API запросов?

Нет, нельзя. Для привязки доменного имени оно должно быть зарегистрировано. Запись CNAME должна указывать на имя поддомена группы, к которой принадлежит целевой API. Домены, которые не поддерживают общий доступ или частные домены, нельзя привязать к группам API.