В общем шлюзе на старой консоли доменное имя, которое будет привязываться, должно быть зарегистрировано, и должны существовать CNAME records, указывающие доменное имя на поддомен группы, к которой относится целевой API. Привязывать приватные доменные имена или доменные имена, не поддерживающие публичный доступ, к группам API нельзя.
В выделенном шлюзе вы можете добавить приватное доменное имя (регистрация не требуется) и добавить запись A, указывающую доменное имя на входной адрес шлюза, или добавить запись CNAME, указывающую доменное имя на отладочный домен группы API. Для получения подробной информации см. «Configuring the Domain Name for Calling APIs» в API Gateway User Guide.